冗余度TT-VGT机器人的神经网络自适应控制

　　摘要：提出了采用神经网络进行模型参考自适应控制(MRAC)的方案，建立了自适应控制的状态模型，并推导出相应的自适应算法;最后对冗余度TT-VGT机器人自适应控制进行了仿真。

　　关键词：冗余度 TT-VGT机器人 神经网络 模型参考自适应控制

　　TT-VGT(Tetrahedron-Tetrahedron-Variable Geometry Truss)机器人是由多个四面体组成的变几何桁架机器人，图1所示为由N个四面体单元组成的冗余度TT-VGT机器人操作手，平面ABC为机器人的基础平台，基本单元中各杆之间由较铰连接，通过可伸缩构件li(i=1,2,…，n)的长度变化改变机构的构形。图2所示为其中的两个单元的TT-VGT机构，设平面ABC和平面BCD的夹角用中间变量qi(i=1,2,…,n)表示，qi与li(I=1,2,…，n)的关系如下[2]：

　　

 

　　式中，d表示TT-VGT中不可伸缩构件的长度，

　　li表示机器人可伸缩构件的长度。

　　

 

　　TT-VGT机器人关节驱动力F与力矩τ的关系为：

　　F=Bττ (2)

　　式中，Bτ为对角矩阵，对角元素Bτi为：

　　

 

　　1 状态模型

　　机器人的自适应控制是与机器人的动力学密切相关的。机器人的动力学方程的一般形式可如下表示(不考虑外力的作用)：

　　τ=D(q)q+C(q,q)q+G(q)q (4)

　　式中，D(q)∈R n×n为广义质量矩阵(惯性矩阵)，

　　C(q,q)∈Rn×(n×n)为向心力及哥氏力作用的矩阵，

　　G(q)∈R n为重力矩阵，

　　τ∈R n表示机器人的驱动力矩。

　　对于TT-VGT机器人，用杆件变量li,ii,Li(i=1,2…，n)代替中间变量qi，qi，qi(i=1,2…，n)(见式(1))，则试(4)可表示为：

　　F=D(l)l+C(l,i)i+G(l)l (5)

　　式中，F∈Rn表示机器人的驱动力。

　　

 

　　可把式(5)表示为下列状态方程：

　　x=A(x,t)x+B(x,t)F (7)

　　式中，

　　

 

　　上述机器人动力学模型就是机器人自适应控制器的调节对象。

　　考虑到传动装置的动力学控制系统模型如下式所示：

　　

 

　　式中，u、l——传动装置的输入电压和位移矢量，

　　Ma、Ja、Ba——传动装置的驱动力矩比例系数、转动惯量和阻尼系数(对角矩阵)。

　　联立求解式(5)和式(9)，并定义：

　　

 

　　可求得机器人传动系统的时变非线性状态模型如下：

　　

 

　　

 

　　2 Lyapunov模式参考自适应控制器设计

　　定理 设系统的运动方程为：

　　e=Ae+Bφr (13)

　　φ=-RB T Per (14)

　　式中，e为n维向量，r为l维向量，A、B、φ分别为(n×n)、(n×m)、(m×l)维满秩矩阵，R与P分别为(m×m)、(n×n)维正定对称矩阵。

　　假若矩阵P满足Lyapunov方程：

　　PA+A TP=-Q (15)

　　式中，Q为(n×n)维正定对称矩阵。

　　同该系统的平衡点e，φ是稳定的。

　　如果向量r又是由l个或更多不同频率的分量所组成，那么该平衡点还是渐近稳定的。其证明可参看文献[4]。选择如下的稳定的线性定常系统为参考模型：

　　y=Amx+Bmr (16)

　　式中，y——参考模型状态矢量：

　　

 

　　式中，∧1——含有ωi项的(n×n)对角矩阵，

　　∧2——含有2ξωi项的n×n对角矩阵。

　　

 

　　式(18)表示n个含有指定参数ξ和ωi的去耦二除微分方程式：

　　yi+2ξiωiyi+ωi2yi=ωi2r (19)

　　令控制器输入为：u=Kxx+Kur (20)

　　式中，Kx、Ku——可调反馈矩阵和前馈矩阵。

　　根据式(20)可得式(11)的闭环系统状态模型为：

　　x=As(x,t)x+Bs(x,t)u (21)

　　式中，As(x,t)=Ap(x,t)+Bp(x,t)Kx，Bs(x,t)=Bp(x,t)Ku (22)

　　将式(12)代入式(22)，可得：

　　

 

　　适当地设计Kxi、Ku，能够使式(11)所示系统与式(16)所代表的参考模型完全匹配。

　　定义状态误差矢量为：

　　e=y-x (24)

　　则e=Ame+(Am-As)x+(Bm-Bs)r (25)

　　控制目标是为Kx和Ku找出一种调整算法，使得状态误差趋近于零，即：

 

　　对脚式(13)与式(14)，选取正定Lyapunov函数V为：

　　

 

　　式中，P——正定矩阵，

　　FA和FB——正定自适应增益矩阵。

　　对上式微分，得

　　

 

　　根据Lyapunov稳定性理论，保证满足式(24)为稳定的充要条件是V为负定，由此可求得：

　　

 

　　将式(22)求导并与式(30)联立求解，同时考虑到控制器稳定时式(11)所示系统与式(16)所代表的参考模型完全匹配，可得

　　

 

　　由此已得到控制器的自适应控制律。

 

　　3 TT-VGT机器人的神经网络自适应控制

　　本文采用直接MRAC(模型参考自适应控制)神经网络控制器对TT-VGT机器人进行控制。在图3中，NNC(神经网络控制器)力图维持机器人输出与参考模型输出之差e(t)=l(t)-lm(t) →。即通过误差反传，并采用上节的自适应算法，调节NNC，使得其输出控制机器人运动到误差e(t)为0。

　　神经网络模型如图4所示。

　　4 实例分析

　　以四得四面体为例，如图5所示建立基础坐标系，末端参考点H位于末端平台EFG的中点。设参考点H在基础坐标系中，从点(0.8640，-0.6265，0.5005)直线运动到点(1.8725，0.5078，0.7981)，只实现空间的位置，不实现姿态。运动的整个时间T设定5秒，

运动轨迹分为等时间间隔的100个区间。不失一般性要求，末端在轨迹的前40个区间匀加速度运动(a=0.2578)，中间20个工间匀速度运动，最后40个区间匀减速度运动(a=-0.2578)，开始和结束时的末端速度为。设各定长构件长度为1m，机构中各杆质量为1kg，并将质量向四面体各顶点对称简化。

 

　　传动装置的参数如下：

　　Ma=4.0×10e -3kg·m/V;Ba=0.01N·m/(rad·s -1);

　　近似认为各关节电动机轴上的总转动惯量在运动过程中保持不变，其值分别为：

　　J1=0.734kg·m2;J2=0.715kg·m2;

　　J3=0.537kg·m2;J4=0.338kg·m2

　　末端位置误差曲线如图6所示。从误差曲线可看出，

采用神经网络自适应控制的机器人位置控制精度较高，稳定性较好。

 

　　本文提出采用直接MRAC神经网络自适应器对机器人进行轨迹控制的方案;建立机器人状态模型，推导出自适应控制算法，并对冗余度TT-VGT机器人轨迹控制进行了仿真。结果表明，该方案控制误差较小，稳定性较好。