分数阶Fourier变换应用于水声通信及其FPGA实现

　　摘要：线性调频信号瞬时频率随时间呈线性变化，其在分数阶傅里叶变换域中具有能量聚焦特性，利用这一特性，将分数阶傅立叶变换应用于由LFM信号充当信息载体的水声通信体制中。研究表明：该应用能够提高系统的抗噪声干扰、抗多径干扰和频率选择性衰减的能力。并在FPGA上完成了该方法的实现，验证了算法的可行性。

　　引言

　　近年来，随着海洋活动增多，水声通信逐渐崭露头角。早期的水声通信多使用模拟调制技术^[1][2]，而新的水声通信系统开始采用数字调制技术。主流数字调制技术有幅移键控(ASK)、频移键控(FSK)和相移键控(PSK)^[3]。由于水声信道的特殊性，水声通信的发展远远滞后。该信道中，线性调频信号性能优良^[4]。线性调频信号在分数阶傅里叶变换域中具有能量聚焦特性，将其应用于水声通信中，能够提高系统的抗噪声干扰、抗多径干扰和频率选择性衰减的能力^[5]。

　　分数阶Fourier变换(Fractional Fourier Transform: FRFT)是一种统一的时频变换，它用单一的变量同时反映出信号在时域和频域的信息，避免了交叉项的困扰。这使得FRFT比传统的Fourier变换(Fourier Transform: FT)更适合处理非平稳信号，特别是Chirp类信号。FRFT发展至今，理论研究较多，但将其进行硬件实现的较少。本文基于Ozaktas的分解型算法^[6]，结合数字信号处理方法^[7]，初步研究了基于分数阶Fourier变换的U域调制的水声通信算法，并在FPGA上进行了实现。

　　分数阶Fourier变换基本原理

　　分数阶Fourier变换的定义

　　Fourier变换是一种线性算子，若将其看作从时间轴逆时针旋转π/2到频率轴，则FRFT是从时间轴旋转任意角α到分数阶域(U域)的算子，它联系起时域与分数阶域。因此，可认为FRFT是一种广义的FT。

　　定义在时域的函数x(t)的p阶FRFT是一个线性积分运算，其定义式为：
          

　　FRFT可以理解为Chirp基分解。一个Chirp信号在某个对应的分数阶域(U域)对应一个冲击函数。因此，Chirp信号通过FRFT在某个分数阶域(U域)具有良好的能量聚焦性能。

　　采样型离散分数阶Fourier变换的快速算法

　　由FRFT的定义可知，DFRFT的计算比DFT复杂许多。所以DFRFT在计算上的有效性很重要，一般希望DFRFT的计算复杂度可与FFT相比。DFRFT定义方法可采用直接采样连续分数阶Fourier变换核来得到DFRFT核矩阵。

　　Ozaktas的采样型算法由H.M.Ozaktas提出^[8]：根据连续FRFT的积分定义式，将FRFT的复杂积分变换分解为若干简单的计算步骤，然后经两步离散化处理得到一个离散卷积表达式，这样便可利用FFT来计算FRFT。因此，这种算法的计算速度几乎和FFT相当。本文FRFT的FPGA实现主要采用这种方法，并对这种算法做一个实现上的改进。

　　Ozaktas的采样型算法将FRFT分解为以下三步运算：

　　(1)Chirp信号调制原信号x(t)，; 

　　(2)调制信号与另一个Chirp信号卷积，; 

　　(3)用Chirp信号调制卷积后的信号，。 

　　这种快速算法的机理决定了在进行FRFT数值计算前必须对原始信号进行量纲归一化处理，参考文献^[9][10]提出了两种实用的量纲归一化方法：离散尺度化法和数据补零/截取法。